http://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox
http://plato.stanford.edu/entries/paradox-stpetersburg/

St. Petersburg Paradox의 문제 셋팅은 다음과 같습니다. Player는 tail이 나올때까지 동전을 던지는 게임에 참여합니다. 최초에 tail이 나온 것이 n번째 flip이었으면 2^n$를 받습니다. 예를들어서 2번째에 tail 이 나오면 4$를 받습니다. 이와 같은 게임을 할 때, 이 게임에 참여하는 사람은 얼마를 내야할까요?

1. Expected Value
이 게임을 수행할때 기대값은 2*(1/2) + 2^2 * (1/2)^2 + 2^3 * (1/2)^3 … 입니다. 이는 무한대. 따라서 player는 무한대의 돈을 내야 정당합니다.

2. 게임의 회수
tail이 나올때까지 동전을 flip하는 이 게임의 길이를 S라하면,
S = 1 * (1/2) + 2 * (1/2)^2 + 3 * (1/2)^3 + … (1)
2S = 1 * (1/2) ^0 + 2 * (1/2)^1 + 3 * (1/2)^2 + 4 * (1/2)^3 + … (2)

(2)-(1): S = 1 + (1/2)^1 + (1/2)^2 + (1/2)^3 + … = 1 / (1 – 1/2) = 2

등비수열에 대한 기억이 흐릿한 분을 위해: -1 < r < 1 일 때 An = a * r^(n-1) 인 등비수열에서, n->inf이면 Sn = a / (1-r)입니다.

따라서 게임의 길이는 2입니다. 따라서 2번째에 tail이 나오게 된다는 말이고 2번째의 상금은 2^2 = 4 이므로 player는 4$를 pay하면 정당합니다.

문제는 왜 1과 2의 결과가 다른가 하는 것입니다.

3. 1024$를 받게 되는 확률
1에서 기대값을 무한대라 하였으나 실제로 1024$이상을 받게 될 확률을 생각해보면 1/1024보다 작다.

Update:
– 3번 항목 추가: 2006.12.29