St. Petersburg paradox

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http://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox
http://plato.stanford.edu/entries/paradox-stpetersburg/

St. Petersburg Paradox의 문제 셋팅은 다음과 같습니다. Player는 tail이 나올때까지 동전을 던지는 게임에 참여합니다. 최초에 tail이 나온 것이 n번째 flip이었으면 2^n$를 받습니다. 예를들어서 2번째에 tail 이 나오면 4$를 받습니다. 이와 같은 게임을 할 때, 이 게임에 참여하는 사람은 얼마를 내야할까요?

1. Expected Value
이 게임을 수행할때 기대값은 2*(1/2) + 2^2 * (1/2)^2 + 2^3 * (1/2)^3 … 입니다. 이는 무한대. 따라서 player는 무한대의 돈을 내야 정당합니다.

2. 게임의 회수
tail이 나올때까지 동전을 flip하는 이 게임의 길이를 S라하면,
S = 1 * (1/2) + 2 * (1/2)^2 + 3 * (1/2)^3 + … (1)
2S = 1 * (1/2) ^0 + 2 * (1/2)^1 + 3 * (1/2)^2 + 4 * (1/2)^3 + … (2)

(2)-(1): S = 1 + (1/2)^1 + (1/2)^2 + (1/2)^3 + … = 1 / (1 – 1/2) = 2

등비수열에 대한 기억이 흐릿한 분을 위해: -1 < r < 1 일 때 An = a * r^(n-1) 인 등비수열에서, n->inf이면 Sn = a / (1-r)입니다.

따라서 게임의 길이는 2입니다. 따라서 2번째에 tail이 나오게 된다는 말이고 2번째의 상금은 2^2 = 4 이므로 player는 4$를 pay하면 정당합니다.

문제는 왜 1과 2의 결과가 다른가 하는 것입니다.

3. 1024$를 받게 되는 확률
1에서 기대값을 무한대라 하였으나 실제로 1024$이상을 받게 될 확률을 생각해보면 1/1024보다 작다.

Update:
– 3번 항목 추가: 2006.12.29

Comments

9 responses to “St. Petersburg paradox”

  1. abraxsus Avatar
    abraxsus

    음. 흥미로운 얘깃거리인걸. 1. expected value야 이해가 가지만, 2. 게임의 횟수..는…
    해석에 문제가 있다고 생각되는데.. 위의 두개의 link에서 2.게임의 횟수..에 대한 얘기는 없던데
    누가 내린 해석이지?? 일단 게임의 길이 S라는 개념은 확률적 기대값인걸..
    즉, S=2라는건, 2번째에 tail이 나온다는게 아니라, ‘확률적’으로 봤을때 평균적으로
    2번째에 게임이 끝날것이라는 얘기겠지.
    2번째 링크에서 2번째 4$가 합리적이라는 얘기는 기존의 utility function을 1번과 같이
    native하게 잡으면 infinite하니까 베르누이가 log를 걸어서 finite하게 utility function을
    고쳤을때 4$에서 peak를 치더라.. 라는 얘긴뎅.. 이때는 4$가 합리적이라는게 잘 해석이
    되지만, 2.게임의 횟수.. 라는 모델은 좀 이상한걸..-_-;; 회수만 고려되었을뿐 상금(utility)는
    고려되지 않았잖아… 즉 S=2라는것으로부터 따라서 4$가 합리적이다..라는 결론까지가
    아무런 논리적 연결고리가 없어보이는데…? 음~ 내 생각엔 1번은 기존의 naive한 모델의
    한계점인거고, 2번은 걍 이상한거고-0-;; 근데 뭐하다가 이런 문제를 끄집어내는거지?? :-)

  2. MKSeo Avatar
    MKSeo

    1번은 왜 naive한거지? 난 아직 링크 다 안읽어본 ㅎㅎ 음 글구 2번은 이상하구나.. 2번째 게임이 끝난다고 해도 그게 곧바로 4$가 돈의 기대값이란건 아니니까.. 이거 수학콘서트란 책에 실린 내용 ..

  3. abraxsus Avatar
    abraxsus

    글쿠나.. 이건 첫번째 링크에 있던 얘긴데, The paradox is thereby solved by replacing the naive decision theory (expected value) by the more reasonable Expected Utility Theory. 이렇게 되어있어.. 1번처럼 expected value사용하는게 naive 하다고 보는거지.. 맞는말인듯. 그래서 utility개념을 도입한다는건데.. 베르누이가 utils = log(상금) 으로 대체해서 풀어낸다는.. 그런 얘기. 착안점은 한계효용체감-_-;;법칙이지.. 사람들의 만족도는 상금의 크기가 커질수록 떨어진다는 점을 착안했다고 얘기하네.. 더 현실적인 모델같긴하지만…음.. 글쎄.. 생각할 여지가 많은걸…

    2번째 얘기는, 매우 직관적인 답안같아서, 완전히 틀렸다고하기에도 좀 그런거같네.. 답안 작성자 본인이 상당한 insight를 가지고 끌어낸것이거나, 아니면 뭐 걍 대충 이럴거같은데..라며 답변한것이거나-_-;; 언뜻 2번째에 게임이 끝나길 기대할수 있고, 각 횟수째에서 기대할수 있는 상금이 $1로 일정하기에, 또 확률이 계속 줄어들고 있으니까, 2번째에서 끝내길 기대하는것이 최선일것이다. 라는식으로 끌어가면서 논리적 공백을 채우면 좋은 답안이 될지도 모를것같다는 생각도 들고, 암튼 그렇네..

    (참고로 위의 문제에서 상금이 2^n$이 아니라 2^(n-1)$라야겠는걸. 암튼 둘중에 하나로 통일하는것이…)

  4. MKSeo Avatar
    MKSeo

    베르누이에 대한 반박은 두번째 링크에 나와. 문제 셋팅도 두번째에 맞췄음 사실.

    첫번째 방법이 왜 나이브한지 난 모르겠어…. 기대값만큼 돈내야되는게 맞는거 아닌가? 한계효용은 오버인듯.

  5. 세라비 Avatar

    잘은 기억안나지만, 제가 미시경제를 들을 때는 expected utility가 risk에 대한 preference를 반영한다고 들은 것 같습니다. 위 문제에서 어떤 사람도 무한대의 expected value를 성취하기 위해서 무한대의 돈을 투자하지 않는 이유는 모든 돈을 잃어버릴 수 있는 risk 때문이라는 설명이었던 것 같습니다.

  6. MKSeo Avatar
    MKSeo

    @세라비: 아.. 저도 그말을 어디선가 본 기억이 나는군요.. 그런데 여기서 베르누이가 제안한 유틸리티를 사용한 계산이 틀렸다는 이유는 두번째 링크에서 보시다시피 10^2^n$ 으로 상금을 정할경우 역시나 기대값이 무한대이기 때문입니다. (그리고 무한대와 4$의 두가지 답의 차이는 너무 크죠..)

    그러니까 한계 효용이 현상을 설명하는 근본적인 원리이던 아니던간에, 그것을 로그함수로 모델링할 수는 없다는 말입니다. 이 예외 상황을 더 간단하게 표현하자면 상금이 2^2^n$고 유틸리티를 log(n) 으로 표현하면 역시나 총합이 무한대로 발산하죠. 그럼 log(log(n)) 을 하면 되지 않는가라고 할지 모르지만 그럼 역시나 2^2^2^n$의 경우엔 발산합니다. 굉장히 느리게 커지는 함수로 유틸리티를 표현한다고 한다면 이번엔 한계효용을 제대로 표현하지 못하게 되버립니다. 너무 느리게 커지니까.

    제가 요즘 마음의 여유가 없어 문제만 던져놓고 정작 저는 잘 생각해보질 못하네요.. 누군가 명쾌한 설명을 해주시기 바랍니다. ㅎㅎ

  7. 大山 Avatar

    저는 1번이 맞는 것 같은데요. 직관적으로 생각하려면, 게임에 참여하는 사람의 숫자를 2배수로 늘여가면서, 게임의 결과가 정확히 산술적 통계 분포를 따른다고 가정하고, 결과적으로 사람들이 받게되는 돈의 평균을 생각하면 되지 않을까요?

    게임의 참여자가 늘어갈수록 게임의 운영자는 결국 무한대의 돈을 지급해야 하는 것이 자명해지므로, 결국 참여비는 무한대여야 한다는거죠. 게임 참여자 입장에서는 리스크에 따른 비용을 따질 수도 있겠지만, 게임 운영자 입장에서는 개별 참여자의 리스크는 무의미하다는 생각입니다. 많은 사람이 참여만 하면, 결국에는 무한대의 비용을 지불해야 할테니까요.

    저도 요즘 마음의 여유가 없는 탓에 링크는 못읽어보고 그냥 제 생각만 덧붙입니다~ ㅎㅎ

  8. lostmyth Avatar
    lostmyth

    오랜만에 와봐도…. 여전하군… -_-

    이게 왜 패러독스 인거냐… _~_ 노말을 베르누이로 꽈 놓고 다시 노말로 문제를 풀면 그게 되냐..

  9. MKSeo Avatar
    MKSeo

    @abraxsus: “일단 게임의 길이 S라는 개념은 확률적 기대값인걸.. 즉, S=2라는건, 2번째에 tail이 나온다는게 아니라, ‘확률적’으로 봤을때 평균적으로 2번째에 게임이 끝날것이라는 얘기겠지.” :

    여기서 기대값은 합이고, 게임의 길이는 평균이다라는 네 말에 일리가 있다. 즉, 분포의 모든 경우에서 나오는 profit을 합한 풀이인 반면, S는 단지 평균만 잡은 것이므로 둘을 비교하는데는 무리가 있다.

    @lostmyth: 이거 노말아닐꺼 같은데… 노말은 한가지 시행을 여러번할 때 관찰의 회수가 진짜 많아지면 가운데가 볼록하더라는 것인데, 이 경우에 동전은 비록 여러번 던지지만 tail이 나오면 바로 성공! 하고 끝나는 거다. 즉, 동전 자체는 많이 던지지만 tail이 나오게되는 현상에 대한 관측은 한번 뿐.. 굳이 분포를 따지자면 초기하분포인거 같은데.

    음.. 이 문제를 애초에 왜 1과 2만 다른가라고만 기술했지만, 그 이유는 abraxsus가 정확히 설명한 것 같습니다. 반면 경영학도들은 S=E가 왜 안되나로 문제를 바라보는 것이 아니라, ‘왜 무한대의 기대값을 가지고 있어도 실제로 무한대의 돈을 들고 사람들은 달려들지 않는가?’로 보는 듯 합니다. (추측 남발 죄송 ㅎㅎ. 전 경영학도가 아니니까;;;) 추가한 3번이 바로 그러한 예. 그렇게 놓고보면 문제는, 그럼 기대한다는 것과 내가 투자한다는 것의 차이는 무엇인가로 점프하고, 결과적으로 경영학도들이 논문 쓰는 토픽인 듯.

    이제 E와 S가 다른 이유도 알았고, 이렇게 생각하고 보니 주제도 제 관심사를 벗어나버린 듯 하네요;

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